Kasus ARIMA

Berikut ini adalah contoh kasus pada data time series ARIMA W6 :

327  385  382  217  609  466  621  455  472  469
 426  579  509  580  611  609  469  661  525  648
 747  757  767  767  745  760  703  909  870  852
 886  960  976  857  939  973  886  836 1054 1142
 941 1117  992 1037 1157 1207 1326 1445 1444 1509
1005 1254 1518 1245 1376 1289 1211 1373 1533 1648
1565 1018 1327 1085 1302 1163 1569 1386 1881 1460
1262 1408 1406 1951 1991 1315 2107 1980 1969 2030
2332 2256 2059 2244 2193 2176 1668 1736 1796 1944
2061 2315 2344 2228 1855 1887 1968 1710 1804 1906
1705 1749 1742 1990 2182 2137 1914 2025 1527 1786
2064 1994 1429 1728

Penyelesaian :

1.  Identifikasi terhadap Variabel dan Mean

  Langkah pertama yang dapat dilakukan adalah data di identifikasi statisioner terhadap varians dan statisioner dalam means. Untuk melakukan identifikasi statisioner terhadap varians dapat dilakukan dengan cara transformasi box cox sebagai berikut :

     Berdasarkan hasil output diatas diketahui nilai Rounded Value (lambda) sebesar 0,50 yang menunjukkan bahwa data belum statisioner dalam varians. Selanjutnya akan dilakukantransformasi kembali agar data stasioner terhadap varians :

     Dari gambar diatas diketahui nilai Rounded Value (lambda) sebesar 1,00 maka dapat disimpulkan bahwa data W6 telah statisioner terhadap varians.

    Langkah berikutnya adalah identifikasi statisioner terhadap means yang dapat di lihat pada gambar time series plot sebagai berikut :

     Berdasarkan gambar diatas menunjukkan bahwa plot-plotnya konstan, jadi dapat disimpulkan bahwa data  W6 telah statisioner terhadap means.

 

2.Estimasi Parameter 

Untuk menentukan AR pada ARIMA menggunakan PACF, sedangkan jika 

menentukan MA maka menggunakan ACF. Menentukan model dapat dilihat dari 

gambar ACF dan PACF sebgai berikut : 

   Pada gambar ACF dan PACF diatas menunjukkan bahwa banyaknya garis 

yang cut off  adalah satu, maka model ARIMA yang mungkin adalah Arima 

(1, 0, 1)

   Berdasarkan model Arima (1, 0, 1), langkah yang selanjutnya dilakukan

adalah pengujian asumsi sebagai berikut : 

a) Asumsi White Noise

    Hipotesis:

    H₀ : Data telah white noise

    H₁ : Data tidak white noise

    Tingkat Signifikan: α= 5%

    Hasil :

        Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

              Lag                12        24        36       48

              Chi-Square    4,7     11,3      22,0    36,3

              DF                  9        21        33        45

P-Value       0,863   0,957   0,927   0,821 
          Berdasarkan hasil di atas menunjukkan bahwa semua nilai p-value > α sehingga gagal tolak H₀. Jadi dapat disimpulkan data W6 telah white noise pada model Arima (1,0,1).

b) Asumsi Normal

     Hipotesis:

     H₀ : Residual telah berdistribusi normal

     H₁ : Residual tidak berdistribusi normal
 Tingkat Signifikan: α= 5%

             Berdasarkan pengujian residual diatas menunjukkan bahwa gagal tolak H₀. Maka dapat disimpulkan bahwa data telah berdistribusi normal.

c)    Signifikansi parameter

     Hipotesis:

     H₀ : Parameter tidak signifikan terhadap model

     H₁ : Parameter telah signifikan terhadap model

     Tingkat Signifikan: α= 5%

     Hasil :

                  Final Estimates of Parameters

                  Type             Coef           SE Coef             T              P

                  AR   1         0,1471         0,1424            1,03         0,304

                  MA   1        0,7487         0,0980            7,64         0,000

                  Constant      0,17781      0,06344          2,80          0,006

Berdasarkan hasil diatas diketahui nilai p-value pada AR1, MA1 dan constant sebesar 0,304 , 0,000, 0,006. Jadi pada model MA1 dan constant menunjukkan nilai p-value < α tolak H₀ yang artinya bahwa parameter telah signifikan terhadap model.Sedangkan untuk AR1 diputuskan gagal tolak H₀ yang artinya parameter tidak signifikan terhadap model.

d) Tes diagnostik

     Hasil :

SS =  776,666 (backforecasts excluded)

MS =  7,061        DF = 110

         Pada hasil diatas menunjukkan bahwa dengan DF atau derajat bebas sebesar 110 dengan nilai MSE sebesar 7,061yang artinya dapat dibandingkan dengan model Arima lain.

Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) Time Series

I. Prinsip Dasar

       ARIMA sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenkins. ARIMA sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang ketepatan peramalannya kurang baik. Biasanya akan cenderung flat (mendatar/konstan) untuk periode yang cukup panjang.

      Model Autoregresif Integrated Moving Average (ARIMA) adalah model yang secara penuh mengabaikan independen variabel dalam membuat peramalan. ARIMA menggunakan nilai masa lalu dan sekarang dari variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat. ARIMA cocok jika observasi dari deret waktu (time series) secara statistik berhubungan satu sama lain (dependent).

     Model ARIMA terdiri dari tiga langkah dasar, yaitu tahap identifikasi, tahap penaksiran dan pengujian, dan pemeriksaan diagnostik. Selanjutnya model ARIMA dapat digunakan untuk melakukan peramalan jika model yang diperoleh memadai. Beberapa keuntungan yang dapat diperoleh dengan menggunakan ARIMA:

1) Merupakan model tanpa teori karena variabel yang digunakan adalah nilainilai lampau dan kesalahan yang   mengikutinya.

2) Memiliki tingkat akurasi peramalan yang cukup tinggi karena setelah mengalami pengukuran kesalahan peramalan mean absolute error, nilainya mendekati nol.

3) Cocok digunakan untuk meramal sejumlah variabel dengan cepat, sederhana, akurat dan murah karena hanya membutuhkan data variabel yang akan diramal.

     Model ARIMA menggunakan pendekatan iteratif dalam indentifikasi terhadap suatu model. Model yang dipilih diuji lagi dengan data masa lampau untuk melihat apakah model tersebut menggambarkan keadaan data secara akurat atau tidak. Suatu model dikatakan sesuai (tepat) apabila residual antara model dengan titik-titik data historis bernilai kecil, terdistribusi secara acak dan bebas satu sama lainnya. Pemilihan model terbaik dapat dilakukan dengan cara membandingkan distribusi koefisien-koefisien autocorrelation dari data time series (peramalan) tersebut dengan distribusi teoritis dari berbagai macam model.

II. Klasifikasi Model

     Model Box-Jenkins (ARIMA) dibagi kedalam 3 kelompok, yaitu: model autoregressive (AR), moving average (MA), dan model campuran ARIMA (autoregresive moving average) yang mempunyai karakteristik dari dua model pertama.

1) Autoregressive Model (AR)

    Suatu persamaan linier dikatakan autoregressive model jika model tersebut menunjukkan Zt sebagai fungsi linier dari sejumlah Zt aktual kurun waktu sebelumnya bersama dengan kesalahan sekarang. Bentuk umum model autoregressive dengan ordo p (AR(p)) atau model ARIMA (p,0,0) dinyatakan sebagai berikut:  

Zt = b0 + b1Zt-1 + b2Zt-2 +..........+ bpZt-p +et 

Keterangan : 

       Zt             = Data time series sebagai variabel dependen pada waktu ke- t

       Zt-p          = Data time series pada kurun waktu ke- (t-p)

       b0             = Konstanta

       b1 ..... bp   = Parameter-parameter autoregressive

      et               = Nilai kesalahan pada kurun waktu ke- t 

2) Moving Average Model (MA) 

    Pada moving average model menunjukkan nilai Zt berdasarkan kombinasi kesalahan linier masa lalu (lag). Bentuk model ini dengan ordo q atau MA (q) atau model ARIMA (0,d,q) secara umum adalah sebagai berikut :

Zt = b0 + et - c1et-1 - c2et-2 - ....... - cqet-q

Keterangan : 
      Zt            = Data time series sebagai variabel dependen pada waktu ke- t
      c1 ..... cq = Parameter-parameter moving average
      et-q         = Nilai kesalahan pada kurun waktu ke- (t-q)
    Berdasarkan model, menunjukkan bahwa Zt merupakan rata-rata tertimbang kesalahan sebanyak q periode lalu yang digunakan untuk moving average model. Jika pada suatu model digunakan dua kesalahan masa lalu maka dinamakan moving average model tingkat 2 atau MA (2).


3) Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
    Sebuah model time series digunakan berdasarkan asumsi bahwa data time series yang digunakan harus stasioner yang artinya rata-rata variasi dari data yang dimaksud konstan. Tapi hal tersebut tidak banyak ditemui dalam banyak data time series yang ada, mayoritas merupakan data yang tidak stasioner melainkan integrated. 

    Data integrated ini harus mengalami proses random stasioner yang seringkali tak dapat dijelaskan dengan baik oleh autoregressive model atau moving average model karena proses tersebut mengandung keduanya. Oleh karena itu campuran kedua model yang disebut autoregressive integrated moving average (ARIMA) menjadi lebih efektif menjelaskan proses itu. Pada model campuran ini series stasioner merupakan fungsi linier dari nilai lampau beserta nilai sekarang dan kesalahan lampaunya. Bentuk umum model autoregressive integrated moving average (ARIMA) adalah: 

 Zt = b0 + b1Zt-1 + b2Zt-2 + .... + bpZt-p + et - c1et-1 - c2et-2 - .... - cqet-q

 Keterangan :

       Zt             = Data time series sebagai variabel dependen pada waktu ke- t

       Zt-p           = Data time series pada kurun waktu ke- (t-p)
    b1 bq c1 cn   = Parameter - parameter model
       et-q         = Nilai kesalahan pada kurun waktu ke- (t-q) 
     Proses autoregressive integrated moving average secara umum dilambangkan dengan ARIMA (p,d,q), dimana:
      p adalah ordo/derajat autoregressive (AR)
     d adalah tingkat proses differencing
     q adalah ordo/derajat moving average (MA).

III. Tahapan ARIMA

    Langkah-langkah penerapan metode ARIMA secara berturut-turut adalah identifikasi model, pendugaan parameter model, pemeriksaan diagnosa dan penerapan model untuk peramalan.
a) Model umum dan uji stasioneritas
   Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut atau tetap konstan setiap waktu.  mengetahui stasioner tidaknya data dapat diamati dari time series plot data tersebut, autocorrelation function data atau model trend linier data terhadap waktu. 
   Suatu data time series yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner, karena aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan data time series yang stasioner. Salah satu cara yang paling sering dipakai adalah metode pembedaan (differencing) yaitu menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah stasioner atau tidak. Jika belum stasioner maka dilakukan differencing lagi.


b) Musiman dan Model ARIMA
    Musiman didefinisikan sebagai suatu pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Untuk data yang stasioner, faktor musiman dapat ditentukan dengan mengidentifikasi koefisien autokorelasi pada dua atau tiga time-lag yang berbeda nyata dari nol. Autokorelasi yang secara signifikan berbeda dari nol menyatakan adanya suatu pola dalam data. Untuk mengenali adanya faktor musiman, seseorang harus melihat pada autokorelasi yang tinggi. Untuk menangani musiman, notasi umum yang singkat adalah: 

ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)S

Dimana :
     (p,d,q)   = bagian yang tidak musiman dari model
     (P,D,Q) = bagian musiman dari model
     S           = jumlah periode per musim


c) Identifikasi model
    Setelah data time series yang akan diolah langkah berikutnya adalah penetapan model ARIMA (p,d,q) yang sekiranya cocok. Jika data tidak mengalami differencing, maka d bernilai 0, jika data menjadi stasioner setelah differencing ke- 1 maka d bernilai 1 dan seterusnya. Dalam memilih dan menetapkan p dan qdapat dibantu dengan mengamati pola Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) dengan acuan sebagai berikut :

d) Pendugaan parameter model
   Ada dua cara yang mendasar untuk mendapatkan parameter-parameter yaitu yang pertama dengan cara mencoba-coba (trial and error), menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih satu nilai tersebut (atau sekumpulan nilai, apabila terdapat lebih dari satu parameter yang akan ditaksir) yang meminimumkan jumlah kuadrat nilai sisa (sum of squared residual).

Sedangkan cara yang kedua adalah perbaikan secara iteratif, memilih taksiran awal dan kemudian penghitungan dilakukan Box-Jenkins Computer Program untuk memperhalus penaksiran tersebut secara iteratif.

e) Pemeriksaan Hipotesis
    Dalam pemeriksaan terhadap model ada beberapa metode yang bisa dilakukan, adalah sebagai berikut :

1. Pengujian model secara keseluruhan (Overall F test) dan pengujian masingmasing parameter model secara parsial (t-test), untuk menguji apakah koefisien model signifikan secara statistik atau tidak baik secara keseluruhan maupun parsial

2. Uji White Noise
    Model dikatakan baik jika nilai error bersifat random, artinya sudah tidak mempunyai pola tertentu lagi. Dengan kata lain model yang diperoleh dapat menangkap dengan baik pola data yang ada. Untuk melihat kerandoman nilai error dilakukan pengujian terhadap nilai koefisien autokorelasi dari error, dengan menggunakan salah satu dari dua statistik berikut:

Uji Q Box dan Pierce: 

Uji Ljung-Box  :

Menyebar secara Khi Kuadrat dengan derajat bebas (db)=(k-p-q-P-Q)
Keterangan:
      n’ = n-(d+SD)
      d  = ordo pembedaan bukan faktor musiman
      D = ordo pembedaan faktor musiman
      S = jumlah periode per musim
      m = lag waktu maksimum
      rk = autokorelasi untuk time lag 1, 2, 3, 4,..., k

Hipotesis:

      H₀ : Data telah white noise

      H₁ : Data tidak white noise

Kriteria pengujian:

atau p-value > α maka nilai error bersifat random (data telah white noise)

atau p-value > α maka nilai error tidak bersifat random (data tidak white noise)

3) Residual Normal

Pada pengujian residual normal digunakan hasil output pengujian residual kolmogorov smirnov,dengan hipotesis sebagai berikut.

Hipotesis:

    H₀ : Residual telah berdistribusi normal

    H₁ : Residual tidak berdistribusi normal

4) Signifikansi parameter

Hipotesis:

     H₀ : Data tidak signifikan

     H₁ : Data telah signifikan

Abila tidak memenuhi salah satu asumsi maka harus melakukan pilihan ulang dari awal lagi. 

 

f) Pemilihan Model Terbaik (Tes Dianostik)
    Menentukan model yang terbaik dapat digunakan standard error estimate berikut :

 Keterangan :

  Zt = nilai sebenarnya pada waktu ke-t

= nilai dugaan pada waktu ke-t

Model terbaik adalah model yang memiliki nilai standard error estimate (S) yang paling kecil.

    

    Selain nilai standard error estimate, nilai rata-rata persentase kesalahan peramalan (MAPE) dapat juga digunakan sebagai bahan pertimbangan dalam menentukan model yang terbaik yaitu:

dengan nilai T menunjukkan banyaknya periode peramalan atau dugaan.

g) Peramalan Dengan Model ARIMA

    Jika model terbaik telah ditetapkan, maka model siap digunakan untuk peramalan. Untuk data yang mengalami differencing, bentuk selisih harus dikembalikan pada bentuk awal dengan melakukan proses integral karena yang diperlukan adalah ramalan time series asli. Notasi yang digunakan dalam ARIMA adalah notasi yang mudah dan umum. Misalkan model ARIMA (0,1,1)(0,1,1)9 dijabarkan menjadi sebuah persamaan regresi yang lebih umum:

Zt = Zt-1 + Zt-9 + Zt-10 + et - c9et-9 - c10et-10

Untuk meramalkan satu periode ke depan, yaitu Zt-1 maka model disusun seperti pada persamaan dibawah ini:

Zt+1 = Zt + Zt-1 + Zt-9 + Zt-10 + et+1 - c9et-9 - c10et-10

     Nilai et+1 tidak akan diketahui, karena nilai yang diharapkan untuk kesalahan random pada masa yang akan datang harus ditetapkan sama dengan nol. Akan tetapi dari model yang disesuaikan (fitted model) kita boleh mengganti nilai et et-8 dan et-9 dengan nilai nilai mereka yang ditetapkan secara empiris (seperti yang diperoleh setelah iterasi terakhir algoritma Marquardt).

     Apabila meramalkan jauh ke depan, tidak akan kita peroleh nilai empiris untuk “e” sesudah beberapa waktu, dan oleh sebab itu nilai harapan mereka akan seluruhnya nol. Untuk nilai Z pada awal proses peramalan, kita akan mengetahui nilai Zt, Zt-8, Zt-9. Akan tetapi sesudah beberapa saat, nilai Z akan berupa nilai ramalan (forecasted value), bukan nilai-nilai masa lalu yang telah diketahui.

     Teknik peramalan dengan menggunakan ARIMA juga memberikan confidence interval. Jika peramalan dilakukan jauh ke depan, maka confidence interval umumnya juga akan makin melebar. Namun tidak demikian untuk confidence interval moving average model murni. Peramalan merupakan never ending process yang berarti jika data terbaru muncul, model perlu diduga dan diperiksa kembali.