I. Prinsip Dasar
ARIMA sering juga disebut metode runtun waktu Box-Jenkins. ARIMA sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang ketepatan peramalannya kurang baik. Biasanya akan cenderung flat (mendatar/konstan) untuk periode yang cukup panjang.
Model Autoregresif Integrated Moving Average (ARIMA) adalah model yang secara penuh mengabaikan independen variabel dalam membuat peramalan. ARIMA menggunakan nilai masa lalu dan sekarang dari variabel dependen untuk menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat. ARIMA cocok jika observasi dari deret waktu (time series) secara statistik berhubungan satu sama lain (dependent).
Model ARIMA terdiri dari tiga langkah dasar, yaitu tahap identifikasi, tahap penaksiran dan pengujian, dan pemeriksaan diagnostik. Selanjutnya model ARIMA dapat digunakan untuk melakukan peramalan jika model yang diperoleh memadai. Beberapa keuntungan yang dapat diperoleh dengan menggunakan ARIMA:
1) Merupakan model tanpa teori karena variabel yang digunakan adalah nilainilai lampau dan kesalahan yang mengikutinya.
2) Memiliki tingkat akurasi peramalan yang cukup tinggi karena setelah mengalami pengukuran kesalahan peramalan mean absolute error, nilainya mendekati nol.
3) Cocok digunakan untuk meramal sejumlah variabel dengan cepat, sederhana, akurat dan murah karena hanya membutuhkan data variabel yang akan diramal.
Model ARIMA menggunakan pendekatan iteratif dalam indentifikasi terhadap suatu model. Model yang dipilih diuji lagi dengan data masa lampau untuk melihat apakah model tersebut menggambarkan keadaan data secara akurat atau tidak. Suatu model dikatakan sesuai (tepat) apabila residual antara model dengan titik-titik data historis bernilai kecil, terdistribusi secara acak dan bebas satu sama lainnya. Pemilihan model terbaik dapat dilakukan dengan cara membandingkan distribusi koefisien-koefisien autocorrelation dari data time series (peramalan) tersebut dengan distribusi teoritis dari berbagai macam model.
II. Klasifikasi Model
Model Box-Jenkins (ARIMA) dibagi kedalam 3 kelompok, yaitu: model autoregressive (AR), moving average (MA), dan model campuran ARIMA (autoregresive moving average) yang mempunyai karakteristik dari dua model pertama.
1) Autoregressive Model (AR)
Sebuah model time series digunakan berdasarkan asumsi bahwa data time series yang digunakan harus stasioner yang artinya rata-rata variasi dari data yang dimaksud konstan. Tapi hal tersebut tidak banyak ditemui dalam banyak data time series yang ada, mayoritas merupakan data yang tidak stasioner melainkan integrated.
Zt = Data time series sebagai variabel dependen pada waktu ke- t
Zt-p = Data time series pada kurun waktu ke- (t-p)
b1 bq c1 cn = Parameter - parameter model
et-q = Nilai kesalahan pada kurun waktu ke- (t-q)
Proses autoregressive integrated moving average secara umum dilambangkan dengan ARIMA (p,d,q), dimana:
p adalah ordo/derajat autoregressive (AR)
d adalah tingkat proses differencing
q adalah ordo/derajat moving average (MA).
a) Model umum dan uji stasioneritas
Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut atau tetap konstan setiap waktu. mengetahui stasioner tidaknya data dapat diamati dari time series plot data tersebut, autocorrelation function data atau model trend linier data terhadap waktu.
Suatu data time series yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner, karena aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan data time series yang stasioner. Salah satu cara yang paling sering dipakai adalah metode pembedaan (differencing) yaitu menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah stasioner atau tidak. Jika belum stasioner maka dilakukan differencing lagi.
b) Musiman dan Model ARIMA
Musiman didefinisikan sebagai suatu pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Untuk data yang stasioner, faktor musiman dapat ditentukan dengan mengidentifikasi koefisien autokorelasi pada dua atau tiga time-lag yang berbeda nyata dari nol. Autokorelasi yang secara signifikan berbeda dari nol menyatakan adanya suatu pola dalam data. Untuk mengenali adanya faktor musiman, seseorang harus melihat pada autokorelasi yang tinggi. Untuk menangani musiman, notasi umum yang singkat adalah:
(p,d,q) = bagian yang tidak musiman dari model
(P,D,Q) = bagian musiman dari model
S = jumlah periode per musim
c) Identifikasi model
Setelah data time series yang akan diolah langkah berikutnya adalah penetapan model ARIMA (p,d,q) yang sekiranya cocok. Jika data tidak mengalami differencing, maka d bernilai 0, jika data menjadi stasioner setelah differencing ke- 1 maka d bernilai 1 dan seterusnya. Dalam memilih dan menetapkan p dan qdapat dibantu dengan mengamati pola Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) dengan acuan sebagai berikut :
b1 bq c1 cn = Parameter - parameter model
et-q = Nilai kesalahan pada kurun waktu ke- (t-q)
Proses autoregressive integrated moving average secara umum dilambangkan dengan ARIMA (p,d,q), dimana:
p adalah ordo/derajat autoregressive (AR)
d adalah tingkat proses differencing
q adalah ordo/derajat moving average (MA).
III. Tahapan ARIMA
Langkah-langkah penerapan metode ARIMA secara berturut-turut adalah identifikasi model, pendugaan parameter model, pemeriksaan diagnosa dan penerapan model untuk peramalan.a) Model umum dan uji stasioneritas
Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut atau tetap konstan setiap waktu. mengetahui stasioner tidaknya data dapat diamati dari time series plot data tersebut, autocorrelation function data atau model trend linier data terhadap waktu.
Suatu data time series yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner, karena aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan data time series yang stasioner. Salah satu cara yang paling sering dipakai adalah metode pembedaan (differencing) yaitu menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah stasioner atau tidak. Jika belum stasioner maka dilakukan differencing lagi.
b) Musiman dan Model ARIMA
Musiman didefinisikan sebagai suatu pola yang berulang-ulang dalam selang waktu yang tetap. Untuk data yang stasioner, faktor musiman dapat ditentukan dengan mengidentifikasi koefisien autokorelasi pada dua atau tiga time-lag yang berbeda nyata dari nol. Autokorelasi yang secara signifikan berbeda dari nol menyatakan adanya suatu pola dalam data. Untuk mengenali adanya faktor musiman, seseorang harus melihat pada autokorelasi yang tinggi. Untuk menangani musiman, notasi umum yang singkat adalah:
ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)S
Dimana :(p,d,q) = bagian yang tidak musiman dari model
(P,D,Q) = bagian musiman dari model
S = jumlah periode per musim
c) Identifikasi model
Setelah data time series yang akan diolah langkah berikutnya adalah penetapan model ARIMA (p,d,q) yang sekiranya cocok. Jika data tidak mengalami differencing, maka d bernilai 0, jika data menjadi stasioner setelah differencing ke- 1 maka d bernilai 1 dan seterusnya. Dalam memilih dan menetapkan p dan qdapat dibantu dengan mengamati pola Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) dengan acuan sebagai berikut :
d) Pendugaan parameter model
Ada dua cara yang mendasar untuk mendapatkan parameter-parameter yaitu yang pertama dengan cara mencoba-coba (trial and error), menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih satu nilai tersebut (atau sekumpulan nilai, apabila terdapat lebih dari satu parameter yang akan ditaksir) yang meminimumkan jumlah kuadrat nilai sisa (sum of squared residual).
Ada dua cara yang mendasar untuk mendapatkan parameter-parameter yaitu yang pertama dengan cara mencoba-coba (trial and error), menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih satu nilai tersebut (atau sekumpulan nilai, apabila terdapat lebih dari satu parameter yang akan ditaksir) yang meminimumkan jumlah kuadrat nilai sisa (sum of squared residual).
Sedangkan cara yang kedua adalah perbaikan secara iteratif, memilih taksiran awal dan kemudian penghitungan dilakukan Box-Jenkins Computer Program untuk memperhalus penaksiran tersebut secara iteratif.
e) Pemeriksaan Hipotesis
Dalam pemeriksaan terhadap model ada beberapa metode yang bisa dilakukan, adalah sebagai berikut :
Dalam pemeriksaan terhadap model ada beberapa metode yang bisa dilakukan, adalah sebagai berikut :
1. Pengujian model secara keseluruhan (Overall F test) dan pengujian masingmasing parameter model secara parsial (t-test), untuk menguji apakah koefisien model signifikan secara statistik atau tidak baik secara keseluruhan maupun parsial
2. Uji White Noise
Model dikatakan baik jika nilai error bersifat random, artinya sudah tidak mempunyai pola tertentu lagi. Dengan kata lain model yang diperoleh dapat menangkap dengan baik pola data yang ada. Untuk melihat kerandoman nilai error dilakukan pengujian terhadap nilai koefisien autokorelasi dari error, dengan menggunakan salah satu dari dua statistik berikut:
Model dikatakan baik jika nilai error bersifat random, artinya sudah tidak mempunyai pola tertentu lagi. Dengan kata lain model yang diperoleh dapat menangkap dengan baik pola data yang ada. Untuk melihat kerandoman nilai error dilakukan pengujian terhadap nilai koefisien autokorelasi dari error, dengan menggunakan salah satu dari dua statistik berikut:
Uji Q Box dan Pierce:
Uji Ljung-Box :
Menyebar secara Khi Kuadrat dengan derajat bebas (db)=(k-p-q-P-Q)
Keterangan:
n’ = n-(d+SD)
d = ordo pembedaan bukan faktor musiman
D = ordo pembedaan faktor musiman
S = jumlah periode per musim
m = lag waktu maksimum
rk = autokorelasi untuk time lag 1, 2, 3, 4,..., k
Keterangan:
n’ = n-(d+SD)
d = ordo pembedaan bukan faktor musiman
D = ordo pembedaan faktor musiman
S = jumlah periode per musim
m = lag waktu maksimum
rk = autokorelasi untuk time lag 1, 2, 3, 4,..., k
Hipotesis:
H0 : Data telah white noise
H1 : Data tidak white noiseKriteria pengujian:
atau p-value > α maka nilai error bersifat random (data telah white noise)
atau p-value > α maka nilai error tidak bersifat random (data tidak white noise)
atau p-value > α maka nilai error bersifat random (data telah white noise) atau p-value > α maka nilai error tidak bersifat random (data tidak white noise)3) Residual Normal
Pada pengujian residual normal digunakan hasil output pengujian residual kolmogorov smirnov,dengan hipotesis sebagai berikut.
Hipotesis:
H0 : Residual telah berdistribusi normal
H1 : Residual tidak berdistribusi normal
4) Signifikansi parameter
Hipotesis:
H0 : Data tidak signifikan
H1 : Data telah signifikan
Abila tidak memenuhi salah satu asumsi maka harus melakukan pilihan ulang dari awal lagi. f) Pemilihan Model Terbaik (Tes Dianostik)
Menentukan model yang terbaik dapat digunakan standard error estimate berikut :
Menentukan model yang terbaik dapat digunakan standard error estimate berikut :
Zt = nilai sebenarnya pada waktu ke-t
= nilai dugaan pada waktu ke-tModel terbaik adalah model yang memiliki nilai standard error estimate (S) yang paling kecil.
Selain nilai standard error estimate, nilai rata-rata persentase kesalahan peramalan (MAPE) dapat juga digunakan sebagai bahan pertimbangan dalam menentukan model yang terbaik yaitu:
dengan nilai T menunjukkan banyaknya periode peramalan atau dugaan.
g) Peramalan Dengan Model ARIMA
Jika model terbaik telah ditetapkan, maka model siap digunakan untuk peramalan. Untuk data yang mengalami differencing, bentuk selisih harus dikembalikan pada bentuk awal dengan melakukan proses integral karena yang diperlukan adalah ramalan time series asli. Notasi yang digunakan dalam ARIMA adalah notasi yang mudah dan umum. Misalkan model ARIMA (0,1,1)(0,1,1)9 dijabarkan menjadi sebuah persamaan regresi yang lebih umum:
Zt = Zt-1 + Zt-9 + Zt-10 + et - c9et-9 - c10et-10
Untuk meramalkan satu periode ke depan, yaitu Zt-1 maka model disusun seperti pada persamaan dibawah ini:
Zt+1 = Zt + Zt-1 + Zt-9 + Zt-10 + et+1 - c9et-9 - c10et-10
Nilai et+1 tidak akan diketahui, karena nilai yang diharapkan untuk kesalahan random pada masa yang akan datang harus ditetapkan sama dengan nol. Akan tetapi dari model yang disesuaikan (fitted model) kita boleh mengganti nilai et et-8 dan et-9 dengan nilai nilai mereka yang ditetapkan secara empiris (seperti yang diperoleh setelah iterasi terakhir algoritma Marquardt).
Apabila meramalkan jauh ke depan, tidak akan kita peroleh nilai empiris untuk “e” sesudah beberapa waktu, dan oleh sebab itu nilai harapan mereka akan seluruhnya nol. Untuk nilai Z pada awal proses peramalan, kita akan mengetahui nilai Zt, Zt-8, Zt-9. Akan tetapi sesudah beberapa saat, nilai Z akan berupa nilai ramalan (forecasted value), bukan nilai-nilai masa lalu yang telah diketahui.
Teknik peramalan dengan menggunakan ARIMA juga memberikan confidence interval. Jika peramalan dilakukan jauh ke depan, maka confidence interval umumnya juga akan makin melebar. Namun tidak demikian untuk confidence interval moving average model murni. Peramalan merupakan never ending process yang berarti jika data terbaru muncul, model perlu diduga dan diperiksa kembali.
0 komentar:
Posting Komentar